Kaustiken einer Hyperbel

Welche Brennlinien bildet Licht, das von einer Hyperbel reflektiert wird?

Die Bilder unten sind durch eine geometrisch-optische Simulation auf einem 800x600-Pixel Raster entstanden. Punkte auf der Hyperbel erfüllen die Gleichung (x/a)²-(y/b)²=1. Der Nullpunkt des Koordinatensystems liegt am linken Bildrand in der Mitte, die Halbachsen haben die Werte a=90 und b=60 (Pixel), die x-Achse weist nach rechts. Der Brennpunkt hat die Koordinaten (c,0) wobei c²=a²+b² ist (c: lineare Exzentrizität).

Abbildung 1: Ein Lichtstrahl kommt von rechts und wird zweimal an der Hyperbel reflektiert. Der Brennpunkt des gezeichneten Hyperbelastes ist mit einem fetten Punkt markiert.

Abbildung 2: Licht, das vom Brennpunkt ausgeht, wird an der Hyperbel so reflektiert, dass es vom anderen Brennpunkt auszugehen scheint. Im Bild sind nur die reflektierten Strahlen gezeichnet. Ihre Verlängerungen schneiden sich alle im gleichen Punkt, eben dem anderen Brennpunkt.

In den folgenden Bildern wurde die Dichte der Strahlen durch Grauwerte codiert (heller heisst mehr Licht). Pro Bild wurden 10'000 Strahlen von der Quelle gleichmässig in alle Richtungen ausgesandt. Die moiréartigen Strukturen im Bild sind durch Aliasing entstanden und nicht real.

Abbildung 3: Die punktförmige Lichtquelle hat Abstand 6c vom Koordinaten-Nullpunkt, d.h. sechs mal den Abstand des Brennpunktes vom linken Bildrand.

Abbildung 4: Die punktförmige Lichtquelle hat Abstand 4c vom Koordinaten-Nullpunkt, d.h. vier mal den Abstand des Brennpunktes vom linken Bildrand.

Abbildung 5: Die punktförmige Lichtquelle hat Abstand 2c vom Koordinaten-Nullpunkt, d.h. zweimal den Abstand des Brennpunktes vom linken Bildrand.

Abbildung 6: Die punktförmige Lichtquelle hat Abstand 1.4c vom Koordinaten-Nullpunkt, d.h. 1.4 mal den Abstand des Brennpunktes vom linken Bildrand.

Abbildung 7: Die punktförmige Lichtquelle sitzt auf dem Brennpunkt. Im Bildausschnitt sind keine Kaustiken sichtbar.

Abbildung 8: Die punktförmige Lichtquelle liegt zwischen Hyperbel-Scheitel und Brennpunkt.

Abbildung 9: Die punktförmige Lichtquelle liegt gerade beim Scheitel.

Abbildung 10: Die punktförmige Lichtquelle liegt an der Hyperbel direkt über dem Brennpunkt.

Abbildung 11: Die punktförmige Lichtquelle hat Abstand 2c vom linken Bildrand (Nullpunkt) und b von der x-Achse.

Wird die Hyperbel von der anderen Seite her beleuchtet, so ergeben sich virtuelle Kaustiken.

erste Version: 28. Dezember 2008 / Martin Lieberherr

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