Planetenbahn und Kraftgesetz

Das Newtonsche Gravitationsgesetz lautet bekanntlich F = GMm·r^-2. Newton hat bewiesen, dass aus diesem Kraftgesetz die Keplersche Ellipsenbahn folgt und umgekehrt. Er fand auch, dass für ein Potenzgesetz mit Exponent -3 eine Spiralbahn mit der Sonne als Pol folgt und für -5 ein Halbkreis durch die Sonne (bei geeigneten Startbedingungen). Das Theorem von Bertrand besagt im Wesentlichen, dass unter den Potenzgesetzen nur jene mit Exponenten +1 und -2 elliptische Bahnen liefern. Wie sehen denn die Bahnen aus, wenn man den Exponenten im Kraftgesetz variiert?

Ausgangspunkt der folgenden Simulationen ist eine Kreisbahn, von der man leicht Bahngeschwindigkeit und Umlaufzeit angeben kann:
GM·r^p = v²/r und T = 2πr/v
Der Planet (Testmasse) wird mit gleichem v um 45° aus der Bahn nach innen abgelenkt, dann die Bahn numerisch berechnet für die Dauer der Umlaufzeit T der ursprünglichen Kreisbahn.



Abbildung 1: Umlaufbahnen für verschiedene Kraftgesetze (Potenzgesetze). Die Zahl oben links im Bildchen ist die Potenz der Anziehungskraft. Man kann zeigen, dass für p = -3 und tiefer der Planet in die Sonne stürzen kann (je nach Startbedingungen). Für p = 1 und p = -2 ist die Bahn eine Ellipse mit der Sonne (Kraftzentrum) im Ellipsenmittelpunkt respektive in einem Ellipsenbrennpunkt.

Wer möchte, kann hier das Programm herunterladen (METAL-BASIC, läuft auf iMac-G4 mit OS 10.2.8). Das File kann mit einem Texteditor geöffnet und betrachtet werden, selbst wenn es nicht lauffähig ist.

Damit man allfällige, periodische Bahnen erkennen kann, muss man mehr Umläufe rechnen:


Abbildung 2: Dasselbe wie in Abb. 1 für ungefähr vier Umläufe. In den ersten beiden Bildern sind die Bahnen gerade zufällig geschlossen, beim dritten Bild ist man nicht weit davon weg.

Man kann auch noch mehr Umläufe rechnen, wenn man sicherer sein will, ob die Rosettenbahn geschlossen ist:


Abbildung 3: Dasselbe wie in Abb. 2 für ungefähr 400 Umläufe. Exponent p = 0.4 liegt in der Nähe einer geschlossenen Bahn, für Exponent 0.9 ist die Bahn nicht geschlossen. Das Bild zu Exponent 1 zeigt die Qualität der numerischen Integration: Selbst nach 400 Umläufen läuft die Bahn noch durch den Startpunkt.

Falls die Bahn nicht geschlossen ist, wird in der Simulation der ganze energetisch zugängliche Bereich eingeschwärzt. Man kann dies auch ausnützen, um periodische Bahnen zu suchen:


Abbildung 4: Weissanteil in Bildern wie Abb. 3 als Funktion des Kraft-Exponenten. Die Bilder wurden für Exponenten zwischen -3 und +10 in Schritten von 0.01 gerechnet. Eine Spitze bedeutet viel weiss, d.h. vemutlich eine geschlossene Bahn (oder eine Absturz-Spirale unterhalb ungefähr-3. In der Nähe von -3 ist der numerische Integrator nicht mehr stabil).

Nun sind statische Bilder zwar hübsch, aber animierte Versionen sind noch schöner. In den Aniationen kann man ausserdem sehen, wie nahe an einer geschlossenen Bahn man ist. Gezeigt wird die Bahn, wie sie sich als Funktion des Exponenten im Kraftgesetz verändert (alles andere wie bei den statischen Bildern).


Animation 1: Bahn für ca. einen Umlauf, wenn der Exponent der Anziehungskraft (F ∝ r^p) von +50 nach -10 abnimmt.


Animation 2: Bahn für ca. 40 Umläufe, wenn der Exponent der Anziehungskraft (F ∝ r^p) von +2.5 nach -2.5 abnimmt.


Animation 3: Bahn für ca. 400 Umläufe, wenn der Exponent der Anziehungskraft (F ∝ r^p) von -1.8 nach -2.2 abnimmt. Wenn die Bahn nicht geschlossen ist, wird der zugängliche Bereich praktiksch schwarz eingefärbt.


Animation 4: Bahn für ca. 400 Umläufe, wenn der Exponent der Anziehungskraft (F ∝ r^p) von -1.939 nach -1.941 abnimmt. Man sieht so, wie wenig man den Exponenten verändern muss, um eine grosse Wirkung zu erzielen. Die geschlossenen Bahnen sind vermutlich ähnlich verteilt, wie die rationalen Zahlen unter den reellen. Dass man überhaupt in einem engen Bereich eine kontinuierliche Veränderung sehen kann, liegt daran, dass nur 400 Umläufe gezeichnet werden.

erste Version: 7. August 2008
Ergängzungen: 08. 08. 08
Martin Lieberherr

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